LOS NUMEROS METÁLICOS. 2º PARTE

Los números metálicos aparecen desde los sistemas usados en el diseño de las construcciones por la civilización romana hasta los más recientes trabajos de caracterización de caminos universales al caos.

Pero... ¿cómo se construyen estos números?. Todos sabemos que el número de oro φ=(1+√5)/2, es la raíz positiva de la ecuación x²-x-1=0. ¿Y qué nos impide generalizar un poco esta ecuación? Nada!. De hecho, podemos considerar la nueva ecuación x²-mx-1=0, donde m es un número natural. Todas las raíces positivas de estas ecuaciones son números metálicos:

• Si m=1, obtenemos φ, el número de oro.
• Si m=2, obtenemos σ_ag:=1+√2, el número de plata
• Si m=3, obtenemos σ_br:=(3+√13)/2, el número de bronce
• En general, se obtiene una sucesión σ_m:=(m+√m²+4)/2
  

Todos estos números σ_m tienen varias propiedades en común. Por supuesto, son todos irracionales cuadráticos y su representación en fracciones continuas es de lo más simple: σ_m:=[m], es decir,

¿Cómo se prueba esto? pues es muy sencillo. Partamos de la ecuación  x²-mx-1=0, y quedémosnos con el término cuadrático en el primer miembro, es decir, x²=mx+1. Si ahora dividimos ambos miembros entre x, resulta que x=m+1/x. Ahora basta con sustituir la x del denominador, por el valor de x que tenemos despejado. Pero esto es un proceso infinito que produce una fracción continua infinita y periódica.

Pero aún podemos dar más propiedades, esta vez, geométricas. Todos sabemos de la existencia del Rectángulo de Oro, como aquél cuyos lados guardan la relación 1:φ, es decir, el cociente del lado mayor entre el lado menor es, exactamente, φ. Este rectángulo tiene la propiedad que, si quitamos un cuadrado de lado 1 (o de lado igual al lado menor) de dentro del rectángulo, el  mini-rectángulo que queda es proporcional al original, es decir, sus nuevos lados guardan las mismas proporciones que el original. Compruébalo en la siguiente imagen:
De forma análoga, podemos construir el rectángulo de plata con proporciones 1:σ _ag. En este caso, si del rectángulo original quitamos 2 cuadrados de lado 1, el mini-rectánguloque resulta es semejante al original, como se puede comprobar en el dibujo siguiente:
En general, podemos construir el emésimo rectángulo metálico con proporciones 1:σ_m y de forma que si eliminamos m cuadrados de lado 1, el mini-rectángulo que resulta es semejante al original