Generalizando la Sección de Números Metálicos. Número mórficos: Oro y Plástico

Como ya se vio en las partes 1, 2 y 3, en arquitectura las proporciones son importantes y desde hace mucho tiempo los arquitectos se preguntan qué relaciones entre los tamaños de los distintos elementos arquitectónicos son las más apropiadas, es decir las más placenteras estética o funcionalmente. No en vano Goethe definió la arquitectura como música congelada. 

¿Cuáles son las proporciones ideales para las representaciones gráficas? ¿Existe una relación idónea entre el alto y ancho de una visualización?. 

Durante los últimos siglos se ha venido considerando que el número Fi, también llamado divina proporción o razón áurea, era un baremo de equilibrio y belleza en cuanto lo que a proporciones se refiere. El número Fi es 1.618033988..., que es el límite al que tiende la división entre dos números cualesquiera de la serie de Fibonacci, 

La serie de Fibonacci se construye muy fácilmente, cada término es la suma de los dos anteriores, empezando por 0 y 1:

0  1  1  2  3  5  8  13  21  34  55  89  144  233 ...

La gracia de la razón áurea es que es una proporción que se encuentra con cierta frecuencia en la naturaleza, especialmente en la geometría, pero también en las proporciones aproximadas del cuerpo humano.

De ello hay muchos ejemplos interesantes en la web de Ron Knotts de la Universidad de Surrey  o (en este caso bastante más discutibles) en Goldennumber.net. Pero también hay muchos errores de concepto alrededor de Fi. 

Por ejemplo es un error común pensar que en el caparazón del Nautilus, un cefalópodo marino, Fi juega un papel importante. Esto no es así, su caparazón es una espiral logarítmica no una espiral áurea, como se puede ver en "Spirals and the Golden Section" de John Sharp. Muchas atribuciones de proporciones áureas a fenómenos naturales son sólo aproximaciones voluntaristas.

Pero volvamos a nuestro interés, el número Fi es un representante de los denominados números mórficos que tienen la interesante propiedad de que existen dos valores k y l para los que se cumple que

Condición de número mórfico. k=2 y l=1 dan la razón áurea, k=3 y l=4, el número plástico. El gráfico muestra las interesantes propiedades de estos dos número. Si p es la razón áurea, 1+p=p2 y p-1=1/p. Si p es el número plástico se cumple p-1= p-4 y p3=p+1.

En seguida nos preguntamos ¿existe algún número mórfico aparte de la sección áurea?. Arts Fokkink y Kruijtzer de la Universidad de Delft demuestran en su artículo “Morphic numbers” que sólo existen dos números mórficos: la sección áurea y el número plástico (1,3247179...), descubierto en 1928 por el arquitecto y monje benedictino Hans van der Laan, que lo utilizó como base para sus construcciones arquitectónicas. El número plástico da lugar a la escala de Van der Laan que sirvió de base para la construcción de la capilla de St. Benedictusberg, abadía benedictina.

Interior de la capilla de la abadía de Sint Benedictusberg, diseñada por Hans van der Laan(1904-1991) usando el número plástico como la base para su escala. Pulse sobre la imagen para agrandarla

Respondiendo a nuestra pregunta, ¿podrían ser la sección áurea o el número plástico la proporción ideal para realizar representaciones gráficas?. No hay ningún indicio irrefutable que así lo indique. Sir William Playfair reputado como uno de los primeros en usar gráficos de barras en el siglo 18, usó predominantemente valores próximos a la sección áurea para proporcionar sus gráficos, aunque también hizo uso de otras proporciones.

Edward Tufte apunta que las preferencias visuales por las proporciones en las formas rectangulares se han venido estudiando desde 1860 por parte de los sicólogos encontrando una suave preferencia por las proporciones alrededor de la sección áurea pero con una variación que va desde 1, 2 hasta 2,2.

La existencia de una proporción “natural” que conectase con las raíces preceptivas de la especie humana no es un despropósito. De existir proporcionaría una base sobre la que construir escalas armoniosas y gráficos probablemente menos engorrosos de manejar. Una idea relacionada es la de que, dada la naturaleza fractal del mundo, la visualización de la información en forma fractal quizá sea más próxima a la manera natural de captar el mundo y por tanto pueda ser ventajosa.

Aunque la idea es muy atractiva, lamentablemente no se encuentran evidencias irrefutables de ello. La forma en que procesamos la información perceptiva los seres humanos es en gran parte un misterio todavía. Los estructuralistas consideran por ejemplo que todas las representaciones son arbitrario-convencionales, negando la posibilidad de que haya representaciones sensoriales, innatas, comprensibles sin necesidad de aprendizaje. Otra gente piensa de muy distinta manera...

Frente a esta situación se impone el pragmatismo. Siguiendo a Tufte, si la naturaleza de la representación sugiere su propia forma, síguela. Si no, usa preferentemente una proporción más ancha que alta con una proporción que te parezca útil o satisfactoria. 

En mi opinión personal, el uso consistente de una escala coherente, sea la sección áurea, la escala de Van der Laan o cualquier otra proporción es una buena elección para construir representaciones armoniosas.